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    直流電機:?永磁直流電機各種電感介紹


    ??  永磁直流電機在控制中,經常要用到各種坐標變換,同時也會碰到到種電感,如:相電感、線電感、直軸電感、交軸電感、相間互感等,特別是電感和坐標變換結合后,就有不少人容易混淆迷惑。下面我們用圖文及公式方式來理解直流電機電感其中的關系。

     

      電感:1824年,奧斯特發現了電流效應,在通電導體周圍的磁針會發生偏轉,也就是電生磁,后來,法拉第和亨利發現了磁也能生電,在移動的磁場能會在導體中感應出電流,這就是現在所說的電磁感應,數學工程式為:


      

     

      e感應電壓

      dф/dt磁通的變化率(單位Wb/s 

     

      法拉第發表電磁感應論文不久,楞次發現了決定感應電流方向的規律,也就是楞次定律:感應電流的磁場總要阻礙引起感應電流的磁通量的變化,所以完整數學公式為:


      

     


      直流電機中控制中的自感與互感

     

      在安倍定律中:磁場產生的根本原因是電流(可以是導體中的電流,也可以是永磁體中的電流)。如下圖所示,一個線圈通電后,就會產生磁場

      

    直流電機磁場線圈 

      線圈本身就處于自身產生的磁場中,也就意味著線圈中也會產生磁通磁通,這個量對于我們來說不直觀,也不好測量,既然磁通是由電流產生的那我們可以借助電流來表示,所以電感的定義是:


      


      單位是Henry(亨利),一位美國物理學家,他其實和法拉第幾乎同時獨立的發現了電磁感應現象,只不過法拉第更早的發表了成果,就贏得了冠名權。

     

      我們通常說的電感,嚴格來說應該叫自感,即線圈自己對自己產生磁通的能力。

     

    電感線圈 


      既然有自感,就會有互感,即兩個線圈之間互相產生磁通的能力。

    電感線圈 

     

      在直流電機中,電感非常重要,它表達了在某個特定機構中電流產生的磁場能力,電感確定了,我們就能很容易去研究磁場的性質。



      什么是磁動勢?


      電感的定義是由磁通來定義了,要計算線圈的電感,先就要計算線圈通電后產生的磁場,由此來計算磁鏈,如,直流電機內磁路為線性,鐵芯中的磁滯和渦流損耗可以忽略、氣隙磁場的搞次諧波也可忽略,直流電機的定、轉子表面光滑,齒、槽影響可以用卡式系數修正,直軸和交軸氣隙可以不等,但是氣隙的比磁導可以用平均值加二次諧波來表示

     

    直流電機模型 

     

      上圖為直流電機定子槽內兩極整距線圈的情況, ⊙為流出,?為流入。根據安培環路定理,其磁動勢分布圖為:


    電路圖 


      磁動勢的幅值為


      


    諧波 


      對方波進行傅里葉級數分析,可知其可由1、3、5,...等奇次諧波組成,其中1次諧波也稱之為基波,其幅值為:


      

     

      上面分析的是一對極情況,現在假設是p對極,每相繞組總匝數為Nph,則A相基波幅值為:

     

      


      上面分析時繞組都認為是整距,且每極每相只有一個槽,實際電機很少這種情況,大多每極下面是多槽的,而且還是短距:


    直流電機電感 

     

      我們一般用一個繞組因數kω1來對基波磁動勢進行修正,其幅值為:


      



      直流電機的相電感與互感計算


      根據基波磁動勢的幅值,則其沿定子分布為:

     

      

     

      有了磁勢,如果能知道磁導(磁阻的倒數),那就能計算氣隙磁密了。對于表貼式直流電機而言,氣隙基本不變,因此磁導和直流電機轉子的位置沒有關系;但是對于直流電機而言,氣隙沿轉子圓周方向一直變換(變化周期是極對數的兩倍),因此磁導還和轉子位置相關。


    直流電機轉子 

     

      由于dq軸是定義在直流轉子上的,因此我們可以通過d軸與A相繞組的夾角θ來表示轉子所在的位置。

     

      計算相電感


      氣隙比磁導為:

     

      λ(a)=λδ0δ2cos2(a+θ)

     

      式中因為氣隙長度變換周期是極對數的2倍,因此有個2次分量,而且當直流電機類型為內嵌式時, λδ2為負值,即d軸時磁阻最大,磁導最小。


      氣隙磁動勢和比磁導的相位關系為:


    氣隙磁動勢 


      則氣隙磁密為磁動勢乘以比磁導:

     

      Bδ(a)=Fa1cosa·(λδ0δ2cos2(a+θ))

     

      展開成諧波疊加的形式:

     

      

     

      所以基波氣隙磁密為:


      

     

      則A相繞組對應的磁鏈為:

     

      

     

      其中 LσA相漏感,τ為極距,疊片長度,上式整理可得:

      

      


      進一步整理可得:


       

     

      所以A相自感為:

     

      


      即:


      


      換一種表達方式:


      

     

      可見,A相繞組的自感不是一個固定值,而是隨轉子的變換而變化。同理可得其他兩相自感為:


    Lbb=Ls0+Ls2cos2(θ-2π/3)


    Lcc=Ls0+Ls2cos2(θ+2π/3)

     

     

      計算相間互感


      由于B相繞組與A相繞組空間相差120°,其與自感方式基本相同,只需將積分區間由 [-π/2 π/2]修改為 [-π/2-2π/3 π/2-2π/3] ,即可以計算A相繞組電流產生的磁場在B相繞組中感應出的磁鏈,具體為:


      


      其中Mσ為互漏感,可以獲得A、B相互感為:

     

      



    同理可獲得其他兩相的互感為:


      

     

      直流電機的自感和互感如下圖所示:


    直流電機的自感和互感 

     

     

      如何計算dq軸電感?


      一般的直流電機都會用dq軸電感表示,那么問題來了:dq軸電感如何計算或測量?和相電感及互感有什么關系?dq電感和坐標變換有什么關系?

     

      如何確定坐標轉換矩陣?


      算電感是為了算磁鏈,進而去計算磁場的某型性質,通過一系列公式,終于把三相繞組的自感和互感計算出來了。


      

     

      那磁鏈就可以計算:

     

      

      

      電感矩陣非常復雜:


      

     

      而且這個電感矩陣還隨之直流電機轉子的變化而變化著,可以找到一個相似矩陣,這個相似矩陣呢形式比較簡單,只有對角線上有數,而且這個相似矩陣能表征原矩陣的關鍵特征。矩陣對角化本質就是尋找矩陣空間的正交基以及在“基”上的投影系數。那電感矩陣是不是可以進行對角化呢?

     

      可以按照矩陣對角化的步驟:

     

      Del|Ls-λI|=0

     

      可以得到三個特征值,分別是:


      

     

     

      其中特征值λ1對應的特征向量是:


      


      特征值λ2對應的特征向量是:


      

     

      特征值 λ3對應的特征向量是:


      


      則3個特征向量可以組成如下特征矩陣:

     

      

     

      這個特征矩陣就是克拉克變換和帕克變換的乘積,該特征矩陣的逆矩陣為:

     

      

     

      則電感矩陣的特征值可以用特征矩陣及其逆矩陣來計算,即

     

      

     

    一般稱λ1Ld; λ2Lq;λ3L0,即:


      


      dq軸的電感就是三相繞組電感矩陣的特征值,dq電感是一個常量了,cos2θ等變化因子消失了,也就是說通過對角化(坐標變換),原先較為復雜的電感矩陣對角化和常數化了,是定子的磁鏈方程解耦了!同時:dq軸電感與變換矩陣無關,是電感矩陣的固有屬性。



      恒功率變換


      在坐標變換的時候,有的變換矩陣前面有個系數2/3 ,有的是  ,有的又沒有,這到底有什么關系呢?

     

      電壓矢量、電流矢量以及磁鏈矢量的關系為:


      


      電感對角畫的時候求取了變換矩陣C ,現在我們需要把電壓矢量、電流矢量以及磁鏈矢量也進行坐標變換:


      Us=Cu’s


      is=Ci’s


      Ψs=CΨ’s

     

      則變換后的功率為:


      P=isTus=(Ci’s)T(Cu’s)=(i’s)T(CTC)u’s

     

      把CT 代入上式,就可以得到:

     

      

     

      不考慮零軸分量,發現變換后的功率是變換前的3/2倍!也就是說,變換前后功率不守恒了,那通過功率計算的轉矩就會不準確了,需要進行修正。

     

      把特征矩陣變為下面這個就可以做到功率守恒呢


      

     


      這個矩陣也是最常用的變換矩陣。

     

     

       dq軸電感測量方法


      通過建立直流電機模型,就要知道dq軸電感,兩種方式,一種是計算,一種是測量。計算比較容易,建立直流電機的有限元模型,現在的電磁計算軟件都有電感矩陣計算功能,計算出來求特征值就行了,有的軟件都能直接給出dq軸的電感。


      一般來說有2種方式來測電感,一種是通過三相繞組,一種是通過兩相繞組。


      用三相測dq軸電感


     

     

      將B、C兩相繞組并聯在一起,形成一個新的端點,用LCR表或其他裝置測量該端點和A相繞組端點之間的電感。

     

      此時因為:


      

     

      B相繞組和C相繞組并聯,具有相同的磁鏈,因此只計算B相繞組的磁鏈:


      

     

      則總的磁鏈為:


      Ψ=Ψab

     

      則等效電感為

     

      

     

      當θ=0時:

     

      

     

      當θ=±π/2時:

     

      

      可見,當直流電機轉子合適的位置測電感時,可以分別獲得d軸電感和q軸電感。但是這種方法有一個難點就是如何知道轉子此時的位置,一個近似的測法是緩慢的旋轉轉子,記下電感的最大值和最小值,此時:

     

      

     


      用兩相測dq軸電感


      用兩相繞組也可以直接測量,比如直接測量B、C兩相端部之間的電感。


    電感測量 

     

      此時,B相繞組的磁鏈為:

     

      Ψb=(Lbb-Lbc)i

     

      B相繞組的磁鏈為:

     

      Ψc=(Lbc-Lcc)i

     

      總的磁鏈為:


      Ψ=Ψbc

     

      等效電感為: 


      


      同樣,緩慢的旋轉直流電機轉子,記下電感的最大值和最小值,此時:

     

      

     

      由于直流電機是比較復雜的電磁產品,里面電感構型比較復雜,既有自感又有互感,電感之間既有并聯,也有串聯,電感串聯和并聯的特性非常重要

     

      同向串聯電感


    直流電機的自感和互感 


      上圖描述了兩個繞向相同的電感串聯時的模型,其中用黑點表示繞組電流流入方向,電流和磁鏈方向如圖所示。


      第一個電感產生的總磁鏈為:


      Ψ1=L1i1+|M|i2 


      第二個電感中產生的總磁鏈為:


      Ψ2=L2i2+|M|i1


      兩個電感中的電流方向相同:


      i1=i2


      兩個電感等效成一個電感時,總的磁鏈為:


      Ψ=Ψ12=(L1+L2+2|M|)i


      則等效電感為:


      

     

      反向串聯電感


    反向串聯電感 


      此時兩繞組繞向相反,由于定義的電流正方向為繞組的流入方向,在此規定下,兩繞組的電流數值關系是:


      i1=-i2

     

      所以總的等效磁鏈為:


      Ψ=Ψ12=(L1+L2-2|M|)i

     

      則等效電感為:


      

     

      同向并聯電感


    同向并聯電感 


      兩個電感并聯時是比較反直覺的,下面我們就來仔細分析一下。上圖是繞向相同的兩個電感并聯時情況,此時,由基爾霍夫電壓定律每個電感兩端的電壓應該是一致的。即:


      

     

      對于第一個電感:


      

     

      對于第二個電感:


      


      由基爾霍夫電流定律:


      i=i1+i2

     

      整理可得:

     

      

     

      所以等效電感為:


      



      反向并聯電感

     

    同向并聯電感 


      兩電感方向繞向相反,則根據基爾霍夫電壓定律:


      

     

      由基爾霍夫電流定律:


      i=i1-i2

     

      可計算的等效電感為:


      

     

      簡單來說:


      當兩電感串聯時:Ls-L1+L2±2M ,繞向相同時為+,繞向相反時為-;

      ?當兩電感并聯時:,繞向相同時為+,繞向相反時為 -。

     

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